Regression lineaire avec erreur sur les variables: application a l'etalonnage d'un gammadensimetre a transmission et d'un humidimetre a neutrons

On se propose de calculer des estimateurs non biaisés de la régression linéaire dans le cas où les variables (x) et (y) de la régression, sont entachées d’erreurs. Dans une première partie, on présente les bases théoriques de la réduction du biais des estimateurs. Ces bases permettent d’aboutir à la construction d’estimateurs sans biais à l’ordre 1. De plus, on décrit la méthodologie permettant de quantifier rigoureusement l’ensemble des sources d’erreur à prendre en compte successivement pour les variables (x) et (y). Dans une seconde partie, ces résultats théoriques sont appliqués à deux instruments de mesure nécessitant un étalonnage préliminaire, un gamma densimètre à transmission (étalonné en laboratoire) et une sonde à neutrons (étalonnée in situ). Les résultats numériques montrent que les erreurs de mesure sont négligeables pour les variables (x) (taux de comptage) et (y) (masse volumique sèche) dans le cas du gamma densimètre à transmission (≤ 0,4 p. 100). Dans le cas de la sonde à neutrons, il en est de même pour la variable (x) (taux de comptage), mais les erreurs deviennent non négligeables (9 à 16 p. 100) pour la variable (y) (teneur en eau volumique). Lorsque les erreurs de mesure restent faibles (cas du gamma densimètre à transmission), il y a peu de différences entre les estimateurs de la droite d’étalonnage avec ou sans prise en compte des erreurs de mesure. Par contre, les différences deviennent plus sensibles lorsque les erreurs deviennent plus importantes (cas de l’humidimètre à neutrons), notamment en ce qui concerne la précision de l’estimation de valeurs prédites à partir de l’étalonnage.

This paper proposes unbiased estimators of linear regression when the variables (x, y) present measurement errors. In the first part, theoretical calculations are described to obtain first-order unbiased estimators, and an error analysis is developed to take into account all the error components involved in each variable (x or y). In the second part, these theoretical results were applied to the calibration of a gamma-ray attenuation probe (laboratory calibration) and a neutron probe (field calibration). Numerical results showed that the measurement errors were negligible in the case of the gamma-ray attenuation equipement (≤ 0.4 %), but were greater (9 to 16 %) for the neutron probe, particularly for variable (y). When the measurement errors are small (gamma-ray attenuation probe), there is no difference between the parameters of the calibration estimated according to the classical approach or the proposed model. But when the measurement errors are greater (neutron probe), the differences between these two calibrations become higher especially for the precision of new predicted values.