Inferences on homogeneity of between-family components of variance and covariance among environments in balanced cross-classified designs

English. Estimation and testing of homogeneity of between-family components of variance and covariance among environments are investigated for balanced cross-classified designs. The variance-covariance structure of the residuals is assumed to be diagonal and heteroskedastic. The testing procedure for homogeneity of family components is based on the ratio of maximized log-restricted likelihoods for the reduced (hypothesis of homogeneity) and saturated models. An expectation-maximization (EM) algorithm is proposed for calculating restricted maximum likelihood (REML) estimates of the residual and between-family components of variance and covariance. The EM formulae to implement this are iterative and use the classical analysis of variance (ANOVA) statistics, ie the between- and within-family sums of squares and cross-products. They can be applied both to the saturated and reduced models and guarantee the solutions to be in the parameter space. Procedures presented in this paper are illustrated with the analysis of 5 vegetative and reproductive traits recorded in an experiment on 20 full-sib families of black medic (Medicago lupulina L) tested in 3 environments. Application to pure maximum likelihood procedures, extension to unbalanced designs and comparison with approaches relying on alternative models are also discussed.

French. Cet article étudie les problèmes d’estimation et de test d’homogénéité des composantes familiales de variance et de covariance entre milieux dans des dispositifs factoriels équilibrés. La structure des variances et des covariances résiduelles est supposée diagonale et hétéroscédastique. La procédure de test d’homogénéité des composantes familiales repose sur le rapport des vraisemblances restreintes maximisées sous les modèles réduit (hypothèse d'homogénéité) et saturé. Un algorithme d’espérance-maximisation (EM) est proposé pour calculer les estimations du maximum de vraisemblance restreinte (REML) des composantes résiduelles et familiales de variance et de covariance. Les formules EM à appliquer sont itératives et utilisent les statistiques classiques de l’analyse de variance (ANOVA), c’est-à-dire les sommes de carrés et coproduits inter- et intrafamilles. Elles s’appliquent à la fois aux modèles réduit et saturé et garantissent l’appartenance des solutions à l’espace des paramètres. Les méthodes présentées dans cet article sont illustrées par l’analyse de 5 caractères végétatifs et reproductifs mesurés lors d’une expérience portant sur 20 familles de pleins frères testées dans 3 milieux chez la minette (Medicago lupulina L). L’application au maximum de vraisemblance stricto sensu, la généralisation à des dispositifs déséquilibrés ainsi que la comparaison à des approches reposant sur d’autres modèles sont également discutées.