Empirical Bayes estimation of parameters for n polygenic binary traits

English. The conditional probability of an observation in a subpopulation i (a combination of levels of explanatory variables) falling into one of 2n mutually exclusive and exhaustive categories is modelled using a normal integral in n-dimensions. The mean of subpopulation i is written as a linear combination of an unknown vector θ which can include « fixed » effects (e.g., nuisance environmental effects, genetic group effects) and « random » effects such as additive genetic value or producing ability. Conditionally on θ, the normal integral depends on an unknown matrix R comprising residual correlations in a multivariate standard normal conceptual scale. The random variables in θ have a dispersion matrix G X A, where usually A is a known matrix of additive genetic relationships, and G is a matrix of unknown genetic variances and covariances. It is assumed a priori that θ follows a multivariate normal distribution f (θ | G), which does not depend on R, and the likelihood function is taken as product multinomial. The point estimator of θ is the mode of the posterior distribution f (θ | Y, G = G*, R = R*) where Y is data, and G* and R* are the components of the mode of the marginal posterior distribution f (G, R | Y) using « flat » priors for G and R. The matrices G* and R* correspond to the marginal maximum likelihood estimators of the corresponding matrices. The point estimator of θ is of the empirical Bayes types. Overall, computations involve solving 3 non-linear systems in θ, G and R. G* can be computed with an expectation-maximization type algorithm ; an estimator of R* is suggested, and this is related to results published elsewhere on maximum likelihood estimation in contingency tables. Problems discussed include non-linearity, size of the system to be solved, rate of convergence, approximations made and the possible use of informative priors for the dispersion parameters.

French. La probabilité conditionnelle qu’une observation d’une sous-population donnée (combinaison de niveaux de facteurs) se trouve dans l’une des 2" catégories possibles de réponse (exclusives et exhaustives) est modélisée par une intégrale normale à n-dimensions. La moyenne de la ﺎe sous population s’écrit comme une combinaison linéaire d’un vecteur θ de paramètres inconnus qui peuvent comprendre des effets « fixes » (effets de milieu parasites, effets de groupe génétique) et des effets aléatoires (valeur génétique additive ou aptitude à la production). Sachant θ, l’intégrale normale dépend d’une matrice inconnue R fonction des corrélations résiduelles entre les n variables normales sous-jacentes standardisées. Les effets aléatoires de θ présentent une matrice de dispersion de la forme G X A où A est généralement une matrice connue de parenté et G une matrice inconnue de variances et covariances génétiques. On suppose qu’a priori θ suit une loi multinormale de densité f (θ | G) qui ne dépend pas de R. La vraisemblance s’exprime alors comme un produit de multinomiales. L’estimateur de position de θ est défini comme le mode de la distribution a posteriori f (θ | Y, G = G*, R = R*) où Y est le vecteur des données, G* et R* sont les composantes du mode de la distribution marginale f (G, R | Y) avec des a priori uniformes pour G et R. G* et R* correspondent alors aux estimateurs du maximum de vraisemblance marginale et θ à un estimateur de type bayésien empirique. Les calculs impliquent la résolution de 3 systèmes non-linéaires en θ, G et R. G* se calcule selon un algorithme de type E.M. Une approximation de R* est suggérée en relation avec des résultats antérieurs publiés à propos d’une estimation du maximum de vraisemblance pour les tables de contingence. Divers problèmes sont abordés en discussion tels que la non-linéarité, la taille du système à résoudre, la vitesse de convergence, le degré d’approximation et l’emploi possible d’a priori informatifs pour les paramètres de dispersion.