Uma solução via bootstrap paramétrico para o problema de Behrens-Fisher multivariado | Solution parametric bootstrap for the behrens-fisher multivariate problem

Tese apresentada à Universidade Federal de Lavras, como parte das exigências do Programa de Pós-Graduação em Estatística e Experimentação Agropecuária, área de concentração em Estatística e Experimentação Agropecuária, para a obtenção do título de Doutor.

In applied statistics, the need to compare means is very common. In the multivariate cases when there is a need for testing mean vectors of two p-varied normal populations with unknown and different covariance matrices the Behrens- Fisher multivariate problem is characterized. In this case the Hotelling T2 test applied when the covariances population matrices are homogeneous is inappropriate, especially when the sample sizes are different. For this reason, many approximate solutions were proposed, such as Nel and Merwe (1986), Krishnamoorthy and Yu (2004) and Krishnamoorthy and Lu (2010), among others. Krishnamoorthy and Yu (2004) reinforce that an exact solution with natural properties does not exist and that efforts are needed to develop more efficient solutions. Krisnamoorthy and Lu (2010) presented a solution for the multivariate variance analysis (MANOVA), under heteroscedasticity. However, they did not evaluate the performance of this test when MANOVA is restricted to only two populations. Thus, the objective of this work is to propose a test, for solving the Behrens-Fisher multivariate problem, based on parametric bootstrap, and evaluate its performance, as well as its comparison to the modified Nel and Merwe test and the Krisnamoorthy and Lu (2010) test. A parametric bootstrap test (PBT) was proposed and the evaluation of its performance and comparison to the other tests was conducted by Monte Carlo simulations. The conclusions reached on the test performance were divided into two cases. The first case, in which the covariance matrices of both populations have equicorrelated structure, the PBT is superior to its competitors in all studied situations, including under covariance homogeneity. The Krishnamoorthy and Lu (2010) test was considered intermediate and the modified Nel Merwe test presented the worst performance. In the second case, the covariance matrices of the populations involved are non-structured and the PBT should only be used in two circumstances: with small sample size of same size in both samples associated with large number of variables, and in samples with different sizes, also with a large number of variables.

Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais (FAPEMIG)

Estatística e Experimentação Agropecuária

Na estatística aplicada é muito comum a necessidade de comparação entre médias. Em situações multivariadas, quando a necessidade está em testar vetores de médias de duas populações normais p-variadas, em que as suas matrizes de covariâncias são diferentes entre si e desconhecidas, está caracterizado o chamado problema de Behrens-Fisher multivariado. Nessa situação, o teste T2 de Hotelling, utilizado quando as covariâncias entre as populações são homogêneas, torna-se inapropriado, especialmente quando os tamanhos amostrais são diferentes. Por essa razão, várias soluções aproximadas foram propostas, como as de Krishnamoorthy e Lu (2010), Krishnamoorthy e Yu (2004) e Nel e Merwe (1986) , entre outras. Krishnamoorthy e Yu (2004) reforçam que uma solução exata com propriedades naturais não existe, havendo uma abertura para desenvolver soluções mais eficientes. Já Krishnamoorthy e Lu (2010) apresentaram uma solução para a análise de variância multivariada (MANOVA), sob heterogeneidade de variâncias, mas não avaliaram o desempenho do teste quando a MANOVA se restringe a apenas duas populações. Para tanto, o objetivo deste trabalho é propor um teste, para a solução do problema de Behrens-Fisher multivariado, baseado em bootstrap paramétrico e avaliar o seu desempenho, bem como a sua comparação com o teste de Nel e Merwe modificado e o teste de Krishnamoorthy e Lu (2010). O método via bootstrap paramétrico (TBP) foi proposto e a avaliação do seu desempenho e comparação com os demais testes foram realizadas. As conclusões alcançadas sobre o desempenho dos testes em questão foram divididas em dois casos. O primeiro caso, em que as matrizes de covariâncias, das duas populações envolvidas, possuem estrutura equicorrelacionada, concluiu-se que o TBP é superior aos seus competidores em todas as situações estudadas, inclusive sob homogeneidade de covariâncias. O teste de Krishnamoorthy e Lu (2010) foi considerado intermediário e o teste de Nel e Merwe modificado o de pior desempenho, em relação ao teste proposto. No segundo caso, as matrizes de covariâncias das populações envolvidas são não estruturadas e concluiu-se que o TBP deve ser utilizado em duas ocasiões: amostras pequenas, de mesmo tamanho, com alto número de variáveis e amostras com tamanhos diferentes e também com grande número de variáveis.