Study and optimisation of the model of two chemostats in series | Étude et optimisation du modèle de deux chémostats en série.

English. This thesis is registered in the field of dynamical systems modeling and deals with spatialized models, describing configurations of two continuously fed bioreactors connected in series that we find in microbiology laboratories. Specialists in bioprocess engineering are very interested in this kind of bioreactors called chemostats since the 1950s, because they give very satisfactory results especially in the microbial ecology sector. The theory of the chemostat, considered as a mathematical theory, raises different questions to which the problematic of this thesis belongs. In these research works, we are interested in the mathematical model of two chemostats interconnected in series. First, we make a thorough mathematical study that leads to performances’ analysis of this series device, with the aim of comparing it with the performances of a single chemostat of same total volume. The main fundamental question that we raise in this thesis is: "Under which circumstances does spatializing, i.e. considering two chemostats interconnected in series, give a better result in terms of performances than a single chemostat?" Indeed, throughout the different chapters of this thesis, we compare at steady state, the performances of the series device to those of a single chemostat based on three different performances' criteria: substrate concentration at the outlet, biogas flow rate and biomass productivity. The main innovation of this research work as compared to the state-of-the-art works lies in the generality of the growth functions. Indeed, we always consider a positive and monotonic growth function, or a positive and non-monotonic one. Each chapter is characterized by a particularity in the mathematical model corresponding to the device of the two chemostats in series. After devoting one chapter to a general introduction and a second chapter to reminders about a single chemostat, we find in the third chapter the classical model of two interconn ected chemostats in series where the growth function is strictly monotonic. This model can be considered as the fundamental model on which the work of this thesis is based. The results of this third chapter extend some results of the literature obtained for linear and Monod type growth functions. These results give the required and sufficient conditions on the existence of a configuration of two chemostats in series more efficient than a single chemostat without mortality, according to the three different performances' criteria. Then, extended over two consecutive chapters, we consider the fundamental model where we take into account the mortality of the species biomass which was still very little studied in depth in the literature. The addition of the mortality parameter leads to surprising results. The results obtained for the substrate concentration at the outlet, in the case without mortality are extended to the case with mortality. Some results obtained for the biogas flow rate differ from the case without mortality and proved to be non-intuitive to bioprocess engineering practitioners. The results obtained for biomass productivity in the case without mortality merited further analysis when mortality is non-zero and new phenomena do not present in the case without mortality appeared. Thus, when mortality is taken into consideration, the fifth chapter was exclusively dedicated to the study of the biomass productivity. In a sixth chapter still under study, we treat the same initial model but with a concentration of substrate in entry distributed on the two reactors in series. Finally, in a seventh chapter also still under study, we consider the fundamental model with a non-monotonic growth function. First results are provided for these last two chapters and are in progress.

French. Cette thèse s'enregistre dans le domaine de la modélisation des systèmes dynamiques et traite des modèles spatialisés, décrivant des configurations de deux bioréacteurs continûment alimentés et reliés en série que nous retrouvons dans les laboratoires de microbiologie. Les spécialistes en génie des bio-procédés portent un grand intérêt à ce genre de bioréacteurs appelés depuis les années 1950 chémostats, car ils donnent des résultats très satisfaisants notamment dans le secteur de l'écologie microbienne. La théorie du chémostat, considérée comme une théorie mathématique soulève différentes questions auxquelles appartient la problématique de cette thèse. Dans ce travail, nous nous intéressons au modèle de deux chémostats interconnectés en série. Tout d'abord, nous faisons une étude mathématique approfondie qui aboutit à une analyse des performances de ce dispositif en série, dans le but de les comparer aux performances d'un seul chémostat de même volume total. L'objectif de cette thèse et la question fondamentale à laquelle nous apportons une réponse est: "Dans quelles circonstances, le fait de spatialiser, c'est-à-dire de considérer deux chémostats reliés en série, donne un meilleur résultat en termes de performances qu'un seul chémostat ?" En effet, tout au long des différents chapitres de cette thèse, nous comparons, à l'état d'équilibre, les performances du dispositif en série à celles d'un seul chémostat en se basant sur trois critères de performances différents: la concentration de substrat en sortie, le débit de biogaz et la productivité de la biomasse. L'originalité de ce travail se situe dans la généricité des fonctions de croissances. En effet, nous considérons toujours une fonction de croissance positive et monotone, ou positive et non-monotone. Chaque chapitre est caractérisé par une particularité dans le modèle mathématique correspondant au dispositif des deux chémostats en série. Après avoir consacré un chapitre à une intro duction générale et un second chapitre à des rappels sur un seul chémostat, nous retrouvons dans le troisième chapitre le modèle classique des deux chémostats interconnectés en série où la fonction de croissance est strictement monotone. Ce modèle peut être considéré comme le modèle fondamental sur lequel est basée le travail de cette thèse. Les résultats de ce troisième chapitre étendent certains résultats de la littérature obtenus pour des fonctions de croissances linéaires et de type Monod. Ces résultats donnent des conditions nécessaires et suffisantes sur l'existence d'une configuration de deux chémostats en série plus efficace qu'un seul chémostat sans mortalité, selon les trois différents critères de performances. Ensuite, étendu sur deux chapitres consécutifs, nous considérons le modèle fondamental où nous prenons en compte la mortalité de la biomasse de l'espèce ce qui a été encore fort peu étudié de façon approfondie dans la littérature. L'ajout du paramètre de mortalité induit à de surprenants résultats. Les résultats obtenus pour la concentration de substrat en sortie dans le cas sans mortalité, sont étendus au cas avec mortalité. Certains résultats obtenus pour le débit de biogaz différent du cas sans mortalité et se sont révélés non-intuitifs aux praticiens du génie des bio-procédés. Les résultats obtenus pour la productivité de la biomasse dans le cas sans mortalité ont mérité une analyse plus approfondie lorsque la mortalité est non nulle et de nouveaux phénomènes inexistants dans le cas sans mortalité sont apparus. Ainsi, lorsque la mortalité est prise en considération, le cinquième chapitre fût exclusivement dédié à l'étude de la productivité de la biomasse. Dans un sixième chapitre encore en cours d'étude, nous traitons le même modèle initial mais avec une concentration de substrat en entrée répartie sur les deux réacteurs en série.