Prediction of breeding values when variances are not known

La distribution conjointe des valeurs génétiques et des performances dépend habituellement de paramètres inconnus tels que les espérances, les variances et covariances dans le cas de la distribution multinormale. Quand l’analyse statistique vise à des décisions de sélection, ces paramètres devraient être considérés comme des paramètres « parasites ». L’état d’incertitude sur les paramètres peut être représenté par une distribution a priori. Celle-ci, combinée à l’information procurée par les données, permet d’aboutir à une distribution a posteriori des paramètres d’intérêt après intégration des paramètres « parasites ». Cet article envisage la prédiction des valeurs génétiques sous différentes hypothèses de connaissance des paramètres et présente les solutions correspondantes. Lorsque les paramètres de dispersion sont inconnus, des estimateurs de la variance basés sur le mode a posteriori sont suggérés. Du fait du mode d’inférence, de type bayésien, ces estimateurs s’avèrent nécessairement non négatifs. Avec une distribution a priori des moyennes et des variances uniforme et sous l’hypothèse de normalité, les prédicteurs optimum (au sens de la maximisation du mérite espéré des individus sélectionnés) sont ceux obtenus à partir des équations du modèle mixte dans lesquelles les variances sont remplacées par leurs estimées du maximum de vraisemblance restreint. Cela conduit à des prédicteurs des valeurs génétiques de type bayésien empirique.

The joint distribution of breeding values and of records usually depends on unknown parameters such as means, variances and covariances in the case of the multivariate normal distribution. If the objective of the analysis is to make selection decisions, these parameters should be considered as « nuisances ». If the values of the parameters are unknown, the state of uncertainty can be represented by a prior probability distribution. This is then combined with the information contributed by the data to form a posterior distribution from which the needed predictors are calculated after integrating out the « nuisances ». Prediction under alternative states of knowledge is discussed in this paper and the corresponding solutions presented. It is shown that when the dispersion structure is unknown, modal estimators of variance parameters should be considered. Because a Bayesian framework is adopted, the estimates so obtained are necessarily non-negative. If prior knowledge about means and variances is completely vague and the distribution is multivariate normal, the « optimal predictors in the sense of maximizing the expected merit of the selected candidates can be approximated by using the « mixed model equations » with the unknown variances replaced by restricted maximum likelihood estimates. This leads to empirical Bayes predictors of breeding values.