Análisis de estructuras del grupo de monodromía y el grupo de Galois para polinomios por medio del teorema de Abel-Ruffini | Structure analysis of the monodromy group and the Galois group for polynomials by means of the Abel-Ruffini theorem

El teorema fundamental del álgebra garantiza que la ecuación general de grado n tiene al menos una solución en los complejos, pero no es posible encontrar una solución general por radicales para tal ecuación cuando n ≥ 5, esta afirmación es conocida como el teorema de Abel-Ruffini. Son varias las demostraciones para este teorema, siendo una de estas la planteada por el mismísimo Niels Henrick Abel. Sin embargo, en este trabajo las demostraciones de interés son aquellas desarrolladas por Évariste Galois y Vladimir Igorevich Arnold, quienes abordan el teorema desde distintos campos de la matématica; por un lado, la primera demostración usa el grupo de Galois, por su parte, la segunda usa el grupo de monodromía. El objetivo principal del presente trabajo consiste en analizar el grupo de Galois desde la Teoría de Galois y el grupo de monodromía desde la topología Algebraica con el fin de encontrar las herramientas que permitan la creación de un isomorfismo entre ambos grupos. Para ello se realiza una revisión de todos los conceptos previos que permiten comprender a cada uno de los grupos con su respectiva demostración del teorema de Abel-Ruffini. Tras el análisis se encuentra que los grupos de Galois de un polinomio f(x) y monodromía de una función multivaluada w(z) son grupos de permutaciones, en el primer caso se permutan las raíces del polinomio, mientras que en el segundo hay una permutación de los posibles valores que toma la función w al ser evaluada en un punto z_0. Además, si se toma la función multivaluada w(z) tal que f(w(z)) = 0 las permutaciones del grupo de Galois permutan la misma cantidad de elementos que las del grupo de monodromía.

Matemáticas

Pregrado

The fundamental theorem of algebra guarantees that the general equation of degree n has at least one solution in the complexes, but it is not possible to find a general solution by radicals for such an equation when n ≥ 5, this statement is known as the Abel-Ruffini theorem. There are several demonstrations for this theorem, one of these being the one proposed by Niels Henrick Abel himself. However, in this work the demonstrations of interest are those developed by Évariste Galois and Vladimir Igorevich Arnold, who approach the theorem from different fields of mathematics; on the one hand, the first demonstration uses the Galois group, on the other hand, the second uses the monodromy group. The main objective of the present work consists of analyzing the Galois group from the Galois Theory and the monodromy group from the Algebraic topology in order to find the tools that allow the creation of an isomorphism between both groups. For this purpose, a review of all the previous concepts that allow understanding each of the groups with their respective proof of the Abel-Ruffini theorem is carried out. After the analysis it is found that the Galois groups of a polynomial f(x) and monodromy of a multivalued function w(z) are groups of permutations, in the first case the roots of the polynomial are permuted, while in the second case there is a permutation of the possible values that the function w takes when it is evaluated at a point z_0. Moreover, if one takes the multivalued function w(z) such that f(w(z)) = 0 the permutations of the Galois group permute the same number of elements as those of the monodromy group.