Régression bayésienne sous contraintes de régularité et de forme

We investigate the Bayesian regression under shape and smoothness constraints. We first elicit a Bayesian method for regression under shape restrictions and smoothness conditions. The regression function is built from B-spline basis that controls its regularity. Then we show that its shape can be controlled simply from its cœfficients in the B-spli ne basis. This is achieved through the control polygon which definition and some properties are given in this thesis. The regression function is estimated by the posterior mode. This mode is calculated by a simulated annealing algorithm which allows to take into account the constraints of form in the proposal distribution. A credible interval is obtained from simulations using Metropolis-Hastings algorithm with the same proposal distribution as the simulated annealing algorithm. The convergence of algorithms for simulations and calculation of the estimator is proved. In particular, in the case of Bayesian regression under constraints and with free knots, Bayesian analysis becomes complex. we propose original simulation schemes which allows to simulate from the truncated posterior distribution with free dimension.

Nous étudions la régression bayésienne sous contraintes de régularité et de forme. Pour cela,on considère une base de B-spline pour obtenir une courbe lisse et nous démontrons que la forme d'une spline engendrée par une base de B-spline est contrôlée par un ensemble de points de contrôle qui ne sont pas situés sur la courbe de la spline. On propose différents types de contraintes de forme (monotonie, unimodalité, convexité, etc). Ces contraintes sont prises en compte grâce à la loi a priori. L'inférence bayésienne a permis de dériver la distribution posteriori sous forme explicite à une constante près. En utilisant un algorithme hybride de type Metropolis-Hastings avec une étape de Gibbs, on propose des simulations suivant la distribution a posteriori tronquée. Nous estimons la fonction de régression par le mode a posteriori. Un algorithme de type recuit simulé a permis de calculer le mode a posteriori. La convergence des algorithmes de simulations et du calcul de l'estimateur est prouvée. En particulier, quand les noeuds des B-splines sont variables, l'analyse bayésienne de la régression sous contrainte devient complexe. On propose des schémas de simulations originaux permettant de générer suivant la loi a posteriori lorsque la densité tronquée des coefficients de régression prend des dimensions variables.